板书大赛高中理科组魏小琦(高中-理科-直线方程的两点式和一般式)

教材分析

直线的两点式和一般式方程是普通高中课程北师大版高一年级数学必修2第二章第二节直线的方程的第二课时。本节课是在掌握直线方程的点斜式、斜截式的特点和适用范围的基础上，引导学生根据除了已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径外探讨已知两点来求直线方程。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，而直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。在推导直线方程的两点式时，根据直线方程的点斜式这一结论，先明确确定一条直线的条件，再根据已知的两点计算得到的条件求出直线的方程。通过两点式向截距式的过渡要让学生体会从一般到特殊的处理问题方法。在应用直线两点式方程及截距式方程应注意满足的条件。然后在学习完成直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的基础上，引导学生认识它们的实质，即都是二元一次方程。从而对直线与二元一次方程的关系进行探究，进而得出直线的一般式方程，这也为以后解析几何的学习做好准备。解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容。

学生分析

高一（4）班学生数学基础薄弱，参与意识和自主探究意识较弱，本节课对学生的分析能力和分类讨论能力有一定要求，特别是用分类讨论思想来解决问题的能力，学生学习起来可能有点难度。故采用启发式、探究式教学，老师稍加引导，鼓励学生谈论归纳。学生在解题能力特别是抽象思维的能力不是很理想。利用多媒体进行辅助，增强直观性。

教学目标

根据课程标准的要求和学生的实际情况，我确定本节课的教学目标如下：

1、知识与技能

（1）掌握两点式、截距式的推导过程。理解直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用范围。

（2）能正确利用直线的两点式、截距式公式求直线方程。

（3）明确直线一般式方程的特征。

2、过程与方法 

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素¬——直线上的两点的基础上，通过学生探讨，得出直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程得出直线的两点式方程；通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题的能力。整节课要让学生感知体会从具体到抽象，几何到代数的数形结合的过程，让学生初步掌握解析几何的基本思想。

3、情感、态度与价值观 

通过让学生体会直线的点斜式方程与两点式方程的关系，点斜式、两点式与一般式的关系，培养学生知识的互相联系性。通过课堂活动的参与，激发学生学习数学的兴趣，使学生能认识到事物之间是普遍联系与互相转化的，能用联系的观点看问题。 

教学重点与难点 

根据教学目标的确定，并结合学生的认知水平，我确定本节课的重点和难点如下：

重点：直线方程的两点式、截距式以及一般式的推导，。 

难点：理解直线方程的一般式以及其与其他四种形式的转化。

教学过程

一、复习回顾

1、直线方程的点斜式

直线的斜率为k，且经过点p(x_0,y_0)，则直线方程的点斜式为 .

说明：这个直线方程是由直线上的一个点和斜率确定的，当倾斜角为0°时，直线的斜率为0，此时直线的方程为 或 。当倾斜角为90°时，直线没有斜率，不能用点斜式表示，直线方程为 或 。

2、直线方程的斜截式

直线的斜率为k，并且与y轴的交点坐标为(0,b)，则直线方程的斜截式为

说明：上述方程是由直线的斜率和其在y轴的截距所确定的，截距有正有负。

设计意图：使学生在已有的基础和经验的基础上，探索新知，复习巩固上节课所学的内容，有利于新课的教授。

二、讲授新课

引导学生根据已有的知识求直线方程。把问题转化为已经解决的问题，在此基础上，根据已知两点的坐标，先判断直线是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程。小组分工，学生黑板展示。

1、利用点斜式解答如下问题： 已知直线经过两点 ,求直线的方程，并画出图形。

（1）A (1,3)，B (2,4) （2）A (1,3)，C (2,3) （3）A (1,3)，D (1,4)   

设计意图 ：从练习题导入到新课，遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。

提问：若点A (x_1,y_1)，B (x_2,y_2)中有x_1=x_2或y_1=y_2，此时这两点的直线方程是什么？

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x_1=x_2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x=x_1；当y_1=y_2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y=y_1

设计意图 ：归纳总结两点式，使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

3、已知直线l与x轴的交点为A (a,0)，与y轴的交点为B (0,b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程。

上述方程称为直线方程的截矩式,其中直线l与x轴交于点(a,0)，与y轴交于点(0, b)，即l与x轴、y轴的截距分别为a, b. 

设计意图：使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

三、深入探究

4、从上述几种形式的直线方程中，你能否找到它们的共同特点呢？平面直角坐标系中的任何一条直线是不是都能用这种形式的方程来表示？

学生小组合作动手把二元一次方程转化成直线方程的某一种形式，对学生得出的结论，教师加于引导。教师板书“一般式Ax+By+C=0  (其中A,B不同时为0)。”

并说明在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线。

设计意图：让学生探究发现一般式的形式。

6、讨论直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系。任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？

提示：当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式。

五、课堂小结 

教师提出：这节课，你学到了什么？ 小组交流合作完成。

（1）掌握直线方程两点式和截距式， 能运用这两种形式求出直线的方程。 

（2）理解直线的一般式方程的形式特征。 

（3）本节课学习了分类讨论、数形结合、相互转化的数学思想方法。

设计意图：使学生对本节课有一个系统的认识，同时养成良好的学习习惯。

六、课后作业

 课本第67页练习第1、2、3题.

设计意图：巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力，通过作业，反馈教学效果，提高有效教学。

一、 课堂反思 

本节课的所有内容以问题的形式展现给学生，学生始终在问题中探究,在问题中发现，而老师只须时刻关注学生的活动过程，不时地给予引导，及时纠正错误。学生参与教学的全过程，成为课堂教学的主体和学习的主人。但仍有少部分学生对自主探究的学习方式存在抵触心理，课堂收获不高。